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（1）

如果是一元标准高斯分布，对应的就是前面的表达式，它是高斯分布最简单的形式。

要推导出最右边的看似复杂的表达式，其实也不难。就是不断的在z-score标准化，以及一些线性代数的计算罢了。我们还知道一元一般的高斯分布形式如下，其实可以将上面标准高斯分布对积分变量换元，换到标准高斯分布下就能得到的：

（2）

我们看一下ΣX表示的是随机变量的协方差矩阵，其第i行第j列的元素aij=E((xi-μi)(xj-μj))，也就是说当各个维度的变量不相关的时候，该矩阵将会是对角矩阵，而其逆Σ-1X也将是对角矩阵。由于该表达式指数上 (-1/2(X-μX)TΣ-1X(X-μX)) 是一个二项式，而二项式的矩阵为对角矩阵好展开一些(只含有平方项)，我们就从这个各个维度的变量不相关假设开始入手证明。

我们知道当两个变量独立时候，P(x,y)=PxPy。也就是联合概率密度等于边缘概率密度的乘积。我们这里的条件虽然是不相关，但对于高斯分布，只要变量之间不相关就能证明其是独立的，也就能写出其乘积形式：

（3）

而之前我们说了，指数上的那部分是二项式，可以写成矩阵形式：

（4）

其中，指数部分省去常数项为公式（5）所示，可以看出Σ矩阵的对角线为各个变量的方差矩阵，而Σ-1为其逆矩阵。

（5）

接下来，我们只需要证明对于变量各维度之间有相关性的情况。同理，我们可以把线性相关的量投影为线性无关。就是坐标系的变换。

（6）

其中U的每一列代表了一个投影方向，这一步操作相当于将原来的X向量从原来的坐标系，变换到新的坐标系下。（类似数据点分布为椭圆可以找到长轴短轴，那就是两个投影方向。相对应的，数据点为三维时，数据分布为椭球，投影方向就为它的三个轴。）

到这一步，Y变量的每一维度就线性无关了。我们可以继续让Y的个维度方差为1。及令Z=DY。其中D为：

（7）

我们知道当高斯分布为（高维或多维）标准高斯分布时，指数上的部分就是欧式距离的平方，我们计算：

（8）

展开得：

（9）

我们知道有：

（10）

我们可以通过协方差矩阵Σx 和Σy的定义得到他们之间的关系：

（11）

我们还知道一个条件U矩阵是正交的即UT=U-1。

因而我们可以得到：

（12）

接下来我们只需要证明非指数部分，由于概率密度函数要求积分和为1。前面我们做的相当于把积分变量换元了Z=DUT(X-μ)，需要在前面乘以|DUT|,也就是乘以|Σx|-1/2，即证：

（13）

至于为什么积分变量换元，在这就是前面乘以其行列式。我的理解对于多维高斯分布，该矩阵必须满秩，可以理解为对坐标进行投影变换然后再缩放。由于是不定积分，坐标的投影变换并不会影响积分结果，而缩放的系数正好就是行列式的值，这样就好理解前面乘以|Σx|-1/2的原因了。

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